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Voici les questions posées par les différents jury des leçons auxquelles mon pote Karim ( merci à lui ... ) ou moi-même avons pu assister, à l'interne comme à l'externe :

On peut trouver des questions posées par des membres du jury de l'externe sur http://www-irma.u-strasbg.fr/~debarre/ExosAgreg.pdf

Lecons d'algebre

Leçon 102:

1) Lien entre ordre d'un groupe et d'un élément ?

Lien ordre cardinal ?

2) Quels sont les sous-groupes de Z ?

3) Que signifie G=<a> ?

4) Un groupe de cardinal 6 a combien de générateurs ?

Leçon 103:

1)Quel est le cardinal de GL_3(F_2) ?

2) Que peut-on dire du cardinal d'une orbite qui contient plus d'un élément ?

Leçon 104:

1)Donner un exemple géométrique de groupe diedral

2) Quel est lr groupe diedral associé aux groupe des rotations ?

3) Exo : Montrer que tout sous-groupe d'ordre n est isomorphe à un sous-groupe de S_n

4) Le quotient Sl_2(R)/SO_2(R) a-t-il un sens ?

Leçon 105:

1) Pourquoi la signature d'une transposition vaut -1 ?

2) Def de l'indice d'un sous-grupe d'un groupe fini ?

3) Excepté A_n, y a-t-il d'autres sous-groupes d'indice 2 ?

4) Quel lien existe-t-il entre les groupes des permutations et la géométrie ?

5) Pour S_4 et A_4, que savez-vous sur le groupe des isométries ou des déplacements qui conserve globalement un carré ?

Leçon 106:

1) Comment calculer le PGCD sans utiliser la division euclidienne ?

2)Quel est l'intérêt de (x+y)^p=x^p+y^p dans Z/pZ

3) Est-ce que la caractériqtique d'un corps est forcément un nombre premier ?

4) Soit p premier tel que p divise n²+1. Montrer que p=1[4]

5) Quand on a une phrase, comment fait-on pour la coder en RSA ?

6) Donner la formule pour l'ndicatrice d'Euler .

7)Comment peut-on identifier les unités de Z/nZ ? d'une manière simple ?

8) Quel est l'ordre des unités de Z/nZ ?

9) A quoi est isomorphe (Z/8Z)étoile ?

10) Calculer le dernier chiffre de 7^1997 en base 10 .

11) Quels groupes classiquess sont isomorphes à Z/nZ, sans oublier la géométrie ?

12) 53 a-t-il un carré dans Z/17Z ?

13)Pourquoi tout élément de Z/pZ est-il somme de 2 carrés ?

14) A quelle condition -1 est un carré dans Z/pZ ?

15) Montrer qu'un nombre premier de la forme 4k+3 n'est pas somme de 2 carrés .

Leçon 107:

1)-1 est-il un carré modulo 2 ?

2) 2 est-il un carré modulo 4 ?

3) 1789 est-il un nombre premier ?

4) Soit p premier >6. Montrer que le développement de 1/p est périodique.

5) Quel est le premier nombre de Fermat non premier ?

6) Donner 10 entiers consécutifs non premiers .

7) Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3 ?

Leçon 108:

1) Donner un exemple d'anneau moins fort que factoriel ?

2) Majorer le nombre d'étapes pour calculer le PGCD dans Z, avec l'algo d'Euclide

3) A-t-on unicité du PGCD ?

4) Si on suppose l'anneau proncipal, quelle relation y a-t-il entre PGCD et PPCM

5) Peut-on parler du PGCD d'une suite infinie d'entiers ?

Leçon 113:

1)Que prouve le th sur les relations coeff-racines en terme de continuité des racines si on se place sur C ?

2) Si a et b dans C sont algébriques, montrer que a+b est aussi algébrique .

3) Caractériser une racine d'ordre k à l'aide des dérivées du polynôme. Quelle formule utilise-t-on ?

Est-ce vrai sur (X-a)^p ? Quel raisonnement d'algèbre linéaire permet alors de démontrer la formule de Taylor ?

4) Moyen pour localiser les vp d'une matrice ?

5)Quel est le lien entre les racines d'une polynôme P de C[X] et celles de P' ?

Leçon 114:

1) Quels sont les liens entre les racines n-ièmes de l'unité et la géométrie ?

2) Autres utilisations des rac n-èmes ?

3) Calul du determinant d'une matrice circulante?

4) Calcul de la somme des combinaisons de 3k parmi n quand k varie de 0 à n ?

Leçon 122:

1)Comment peut-on calculer les valeurs propres sans passer par le polynôme caractéristique ?

2) Comment peut-on calculer le rang d'une matrice ?

3) Pourquoi toute matrice symétrique définie positive est une matrice de Gram ?

4) Dans le plan, donner 3 vecteurs dont le produit scalaire vaut -1/2?

5) Soit A une matrice 2nx2n dont la diagonale est nulle et les autres coefficients valent +ou-1. A est-elle inversible ?

6)On a 2n+1 caillçoux tels que si on en enlève un au hasard, on peut partager le reste en 2 tas de n cailloux, de même masse. Montrer que tous les cailloux ont la même masse .

7) dans un exo : partant d'une matrice A inversible et diagonalisable : la candidate montre que :
A^k = P D^k P^-1 pour tout k entier relatif.
Question : concrètement , comment calculer l'inverse comme polynôme en A ? puis les puissances n-ièmes avec n positif par exemple ?
Réponse : grâce au polynôme caractéristique (déjà calculé) et Cayley-Hamilton, on a :
A3 en fonction de A², A et I. d'où en multipliant par A^-1, on obtient l'inverse !
Pour les puissances : on montre par récurrence que A^n=P_n(A) avec P_n polynôme de degré inférieur ou égal à 2.
Question : Comment calculer effectivement ce polynôme P_n pour n donné ?
Indications : essayer de calculer le polynôme en les 3 valeurs propres distinctes de la matrices (c'est le cas dans cet exo), et utiliser la division euclidienne de X^n par P_n etc...intéressant, non ??

Leçon 123:

1)Nombre de 0 dans Jordan ?

2)Une somme d'endom nilpotents est-elle nilpotente ?

3)Combien y a-t-il de matrices symétriques nilpotente ?

4) Si f = d + n et f à coef réels. Peut-on montrer que d et n sont à coeff réels ?

5) Décomposer la matrice A suivante sous la forme D+N

A= (1 1 1)

(0 1 0 )

( 0 0 2 )

6) f : à un polynôme P on associe : (1+X²)P'' -2XP' (exercice proposé par le candidat)
Pour trouver les vecteurs propres associés à un v.p : structure de l'ensemble des solutions ?
Réponse : s-e-v de dimension 2
Comment peut trouver une solution particulière ?
Réponse : variation des constantes

Leçon 124:

1) Qu'est-ce que le polynôme minimal ? Est-il unique ?

2) Comment savoir si un endomorphisme est diagonalisable sans calculer son polynôme caractéristique ?

3) Une inclusion est elle suffisante pour montrer E=F+G ? ( dans le lemme des noyaux )

4) Si A est diagonalisable et Sp(A) est dans 2i"pi"Z, on a e^A diagonalisable ? Que dire alors de Sp(e^A) ?

5) Une somme d'endom diagonalisable est-elle diagonalisable ?

6) Question : Que dire de 2 endomorphismes diagonalisables qui commutent ?
Réponse : base commune de diagonalisation ! (*)
Relance : Et si on a 5 endomorphismes diagonalisables qui commutent 2 à 2 ?

Question : Pour aider à la démonstration de (*) : Montrer que si 2 endomorphismes diagonalisables commutent alors il existe un vecteur propre commun.
argument principal ?
Réponse : stabilité i.e : si u diagonalisable et F stable par u alors la restriction de u à F est diagonalisable !
Pourquoi ?
Polynôme annaluteur scindé à racines simples sur E donc aussi sur le s-e-v F !
Reste à finir...

Leçon 126:

1) Donner un exemple d'espace euclidien en dehors de R^n.

2) Si on considère l'ensemble E des fcts polynômiales de degré inférieur ou égal à n de [0,1] dans R muni du produit scalaire (f,g) = int f(x)g(x)dx. Existe-t-il une base orthonormée de E ?

Quelle propriété vérifient les racines de éléments de cette base ?

3) Que peut-on dire d'une norme qui vérifient le th de la médiane?

4)O(E) est-il compact dans GL(E) ?

Leçon 131:

1) Quelle est la nature de la quadrique suivante x²-2y²-3z²+xy+2xz+7yz-x-5y+5z=0?

2) Soit D une droite et P un plan dans l'espace. Soit a un réel. Determiner {M/ d(M,D)²+d(M,P)²=a²} .

3) pour une quadrique définie par une équation du second degré en x et y : P(x,y)=0
Question : Etes-vous sûr que l'ensembe E={P(x,y)=0} est non vide ?
Réponse : On calcule F(0,0) et F(autre point) avec un changement de signe, et comme P est un fonction polynômiale du second degré, elle est continue, donc on applique le TVI , donc E non vide !

Leçon 132:

1) Constructibilité d'un pentagone régulier ?

2) Quel est le rapport entre constructibilité et équation ?

Leçon 134:

1) Description des isométries en dim 2 et 3 ?

2) Soit u dans O^+(E), u a-t-elle un point fixe ? Comment retrouve-t-on une application géométrique ?

3) Quelle propriété topologiques de O_n(R) et SO_n(R) connaissez-vous ?

4) Pouvez-vous parler des sous-groupes finis du groupe des isométries du plan ?

Leçon 135:

1) Qu'est-ce qu'un déplacement ?

2) Si f déplacement avec un point fixe alors c'est une rotation , pourquoi ?

3) Definition d'isométrie affine ?

4) Quels sont les points fixes d'une isom affine?

5) Peut-il y avoir seulement un cercle de points fixes ?

Leçon 137:

1) A quelle condition le barycentre de n points d'une partie convexe X est-il encore dans X ?

2)Dessiner ce que signifie le th de Carthéodory dans le plan

3) Soit ABC un triangle et G le point de concours des bissectrices intérieures.Donner les coord barycentriques de G par rapport à A,B et C.

Leçon 145:

1) excepté les similitudes, y a-t-il d'autres transformations du plan affine qui conservent les coniques ?

2)Est-ce que le cerlce est une conique avec la def utilisant les distances ?

3) Def d'une affinité ?

4) L'image d'une conique par une transformation affine est-elle une conique?

5) Dans quel repère se place-t-on pour donner les équations cartésiennes des coniques ?

6)Quel est l'intérêt de la forme parabolique en physique, pour les miroirs par exemple ?

Leçon 148:

1) Comment reconnaître une courbe gauche et une courbe droite ?

2) def. de paramètrage admissible ?

3)L'application t->s(t) est-elle un C1-difféomorphisme ?

4) Connaissant s, peut-on retrouver t ?

5) quelle est la courbure d'un arc de cercle ?

6) def de la tangente ?

7)A-t-on un analogue en dimension 3 du tableau sur les points singuliers en dim 2 ?

8) Quelles sont les courbes de courbure constante ?

Lecons d'analyse

Leçon 201:

1) Une suite convergeant au sens de Césaro converge-t-elle ?

2) Si f est continue de ]0,1[ dans ]0,1[, f admet-elle un point fixe ?

3) Faire un dessin pour u_n+1=f(u_n) avec f décroissante.

4) donner un exemple concret d'utilisation de suites adjacentes.

5) si une suite ne converge pas, que peut-on dire ?Elle peut avoir plusieurs val d'adhérence.

Def d'une val d'adh ? Est-ce que toute suite en a une ?

Dans quels cas peut-on concluer ?

6) Si la suite n'a qu'une seule valeur d'adhérence, converge-t-elle ?

7) Donner une condition pour qu'une suite n'ayant qu'une seule valeur d'adhérence converge.

8) comment peut-on faire pour calculer ln 3 à l'aide de suites ? méthode des trapèzes avec int_1^3 1/t

9) est-ce que cette méthode est bonne ? Majorer l'erreur en fct du nombre de subdivisions

Quelle autre méthode pourrait-on utiliser en écrivant ln3=-ln(1/3) ? DSE ...

Leçon 202:

1) Exemple de suite convergeant plus rapidement que géométriquement ?

2) A quelle vitesse converge 1/n! ?

3) quelle est la vitesse de convergence pour la méthode de Newton ?

4) Donner une méthode numérique pour avoir une valeur approchée de cos 2

5)Quels sont les avantages du pivot de Gauss pour la résolution des système AX=B ?

Leçon 206:

1) Qu'est-ce que l'équivalent de 2 suites ?

2) Relation entre 1/n et 1/(nln²(n)) ?

3) Problèmatique de la comparaison séries-intégrales ? graphique ... Et pour une fonction croissante ?

Est-ce intéressant pour les séries ? Pour un équivalent de n! par exemple ?

4) Où se sert-on du critère de Cauchy ?

Leçon 207:

1) Etudier la série de terme général (-1)^n/(n+(-1)^(n-1) )

Leçon 211:

1) f(compact)=compact mais f non nécessairement continue. Peut-on donner une hypothèse supplémentaire pour que ce soit vrai ?

Leçon 214:

1) Soit L une application linéaire, à quelle condition Id-L est-elle inversible ?

2)Donner une méthode basée sur les points fixespour résoudre x^3-x+1

3) Plus généralement, si on veut résoudre f(x)=0, comment fait-on ?On pose g(x)=f(x)+x

4) Et pour localiser les racines ? Tableau de variations ... Une autre méthode sur [a,b] ?Newton ...

5) Soit E un Banach, T dans L(E) et A={x de R/T-xId est bijectif }. Montrer que A est ouvert .

Leçon 218:

1) Donner un exemple de fonction ne coïncidant pas avec son DSE

2) Soit A une matrice. (I-zA)^-1 est-elle DSE en 0 ?

Rayon de convergence ? Pour quelle norme ? Le rayon dépend-il de la norme ?

Leçon 219:

1) La réciproque de Parseval existe-t-elle ?

2) Donner une condition suffisante pour qu'il y ait convergence normale d'une série de Fourier.

3)Faites un dessin pour f(x)=x/2 pour x dans ]-pi,pi[avec f 2pi-périodique. Que se passe-t-il pour les sommes partielles de la série de Fourier?

4) Quel "ordre" déductif a-t-on entre convergence L², convergence normale de la série de Fourier et l'égalité de Parseval-Bessel? Condition simple pour avoir la convergence normale? Relation entre c_n(f) et c_n(f') ?

5) La somme des 1/n² est elle un bon moyen d'approximer pi² ?

6) Quelle est la limite de la norme L1 du noyau de Dirichlet ?

Leçon 226:

1)x->x² est elle unift continue ?

2) A-t-on équivalence entre f uniformément continue et f lipschitzienne ? Donner un contre-ex ?

3) Def d'une fct réglée ? Une fct réglée sur un compact a-t-elle des prop de coninuité ?

Et si la fonction est monotone et réglée ?

4)La fct rac carrée est-elle unift continue ?

5) Une fct continue et bornée sur R est-elle unift continue ?

Leçon 227:

1) Que peut-on dire d'une limite simple de fonctions convexe ?

2) Soit f une fonction convexe dérivable sur un intervalle ouvert, que peut-on dire de f' ?

Montrer que f' est continue.

3) Que peut-on dire d'une fct convexe et bornée sur R ?

Et sur R+, est-ce encore vrai ?

Leçon 234:

1) Etudier la fonction F: x-> Int_0^(2pi) ( cost)^x dt

Leçon 242:

1) relation entre la fonction caractéristique et l'espérance, puis la variance ?

2)Quel est le lien entre convergence en loi avec la fct de répartition et la fonction caractéristique? Réciproque?

3) Def de la loi du chi²?

4) Est-ce que X_n CV en loi vers X entraîne que pour tout fonction f mesurable bornée E(f(X_n))-> E(f(X))? Donner un contre-ex. Quelles ont les bonnes hypothèses pour f ?

5) Soit f dans Co([0,1],R).Montrer rapidement la convergence simple des polynômes de Bernstein associées à la fonction f vers f

6)Soit X1, X2, ..., Xn n va de Bernoulli indépendantes à valuers dans {-1; 1} p = q = 1/2

Soit Yn=(X1+ X2+ ...+ Xn)/n. Que peut-on dire de Yn quand n tend vers l'infini ?

7)Def de l'indépendance de n va ?

8) L'indépendance 2 à 2 entraîne-t-elle la mutuelle indépendance ? Réciproque ?

9) Que peut-on dire sur le nombre de "piles" qu'on obtientau bout de n lancers quand n tend vers l'infini ?

Leçon 243:

1) Quel nom donne-t-on aux probabilités qu'un test soit positif sachant que le témoin est malade et que le test soit négatif sachant que le témoin n'est pas malade ?

2) Quel est la terminologie adaptée à un système complet d'évènements ?

3) Est-ce que les évènements sachant A forment une tribu ?

Quelques couplages en type II :

341-347 ; 401-422 ; 422 -433 ; 423-436 ; 317 -325 ; 426 - 428 ; 402 - 437 ; 411 - 439 ; 424 -430 ; 321 -338 ;
302- 320 ; 414 - 430 ; 420 - 427 ; 404 - 423 ; 415 - 432 ; 16 - 345 ; 403 - 439 ; 404 - 437 ; 420 - 437 ;
307 -317 ; 312 -341 ; 324 -345 ; 308 -318 ; 306 - 323 ; 314 - 328 ; 324 -332 ; 401 - 409 ; 431 - 439 ; 427 - 437

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